4.3 微分

设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 的邻域内有定义, 在 ${\displaystyle x_0}$ 处取自变量增量 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$. 若存在 ${\displaystyle A}$, 使得因变量增量

则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处可微, 称 ${\displaystyle A\mathrm{\Delta }x}$ 为 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处的微分.

${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处可导 ${\displaystyle \iff f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处可微, 且 ${\displaystyle {\mathrm{d}y|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x}$.

$${\mathrm{d}y|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x,\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

$$\mathrm{d}(f(x)\pm g(x))=\mathrm{d}f(x)\pm \mathrm{d}g(x),$$$$\mathrm{d}(f(x)g(x))=\mathrm{d}f(x)\cdot g(x)+f(x)\mathrm{d}g(x),$$$$\mathrm{d}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\mathrm{d}f(x)\cdot g(x)-f(x)\mathrm{d}g(x)}{g^2(x)}.$$

用 ${\displaystyle {\mathrm{d}}^{n}y}$ 表示高阶微分, 则有 ${\displaystyle {\mathrm{d}}^{n}y=f^{(n)}(x)\mathrm{d}{x}^n}$.

若 ${\displaystyle y=f(u),u=g(x)}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u}$.